Observemos, inicialmente, que a desigualdade acima é equivalente à seguinte dupla desigualdade:

De fato, uma desigualdade do tipo significa que

Vamos então mostrar que, para quaisquer a e b reais, temos e, ao mesmo tempo, .

• Para provar a primeira desigualdade, basta observar que:

  pela propriedade demonstrada no item c). Logo:
  como queríamos demonstrar.

   

• Para a segunda desigualdade, observemos que, raciocinando como na anterior, podemos escrever que
  
  e, portanto,
  
  
  pois o módulo de um número é sempre igual ao módulo do seu oposto. Logo, multiplicando por -1, temos:
  
  ,ou seja,

  , como queríamos demonstrar.