+
Vamos fazer a demonstração de duas maneiras:
i) Utilizando gráficos
de funções e, nesse caso, vamos mostrar que 
,
para todos x e a reais.
,
então 
.
Sejam então,
e 
. Vamos mostrar
que o gráfico de f está abaixo ou coincide com o
gráfico de g e, portanto, 
,
para todo x real.
 |
O
gráfico de  ,
com  |
 |
O
gráfico de
 ,
com  ,e o gráfico de  |
Comparando os gráficos de f e g, verificamos que
 |
Para
: o gráfico de e o gráfico de |
ou seja 
,
para todo x real, o que demonstra a tese para o caso 
.
,
então 
.
Sejam então,
e 
. Vamos
mostrar que o gráfico de f está abaixo ou coincide
com o gráfico de g e, portanto, ,
para todo x real. |
O gráfico
de ,
com a<0 |
 |
O gráfico
de  ,
com a<0 |
Comparando os gráficos
de f e g,
verificamos que
 |
Para a<0: o gráfico de
e o gráfico de |
ou seja 
,
para todo x real, o que demonstra a tese para o caso a<0.
Dessa forma, mostramos,
graficamente, que 
,
para todos a e b reais.
ii) Algebricamente, vamos provar que ,
para todos a e b reais.
Temos dois casos a considerar:
,
então 
,
pois todo número é sempre menor ou igual ao seu valor
absoluto. Assim, nesse primeiro caso, mostramos que 
+
.
,
então 
,
pois o oposto de um número é sempre menor ou igual ao
valor absoluto desse número. Assim, também nesse caso,
mostramos que 
+
. |
 |