O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas apenas aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação.

Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integração são processos inversos. Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, que exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo.

Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando a antiderivada da função envolvida.

Definimos a função logaritmo como sendo uma área, a menos de um sinal. De fato,
• para x>1,
• para 0<x<1,

Um movimento uniformemente variado, com aceleração constante a - com a ¹ 0 - velocidade inicial v₀ e posição inicial s₀, tem, no instante t, uma velocidade

.

A função, que fornece a posição no instante t, pela Física, é

.

Em nossos primeiros cálculos de áreas, vimos que e que .

Em todas as situações observamos que dada uma função f sempre obtemos uma nova função F que tem uma propriedade especial: sua derivada na variável x, produz a função dada inicialmente, isto é, F'(x)=f(x).

Na realidade, esse é o conteúdo do Teorema Fundamental do Cálculo. Mais precisamente, temos:

Teorema: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por , é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua derivada é dada por F'(x)=f(x).

O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a partir dele, podemos mostrar que:

Conseqüência: Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então , onde G é uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f.