O objetivo é agora o de chegar a uma definição formal, rigorosa e precisa da integral definida.

Seja inicialmente f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que para todo .

Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x variando em .

Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo , constituída pelo conjunto de pontos .

Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma , sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, . No caso de tomarmos as n divisões de todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub-intervalos terá comprimento , para .

 

Em cada um dos sub-intervalos , podemos considerar o ponto m_i que fornece o valor mínimo da função, obtendo um valor aproximado por falta para a área da região, que é dado por:

que é a soma inferior relativa à partição P e à função f.

Por outro lado, podemos considerar, em cada um dos sub-intervalos , o ponto M_i que fornece o valor máximo da função, obtendo um valor aproximado por excesso para a área da região, que é dado por:

que é a soma superior relativa à partição P e à função f.

Evidentemente, poderíamos considerar qualquer ponto x_i* em cada um dos sub-intervalos , diferente de m_i e de M_i, obtendo um valor aproximado para a área da região, que é dado por:

Evidentemente,

ou, permitindo uma melhor visualização,

Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é, fazemos , obtemos:

Logo, pelo Teorema do Confronto,

para qualquer escolha dos pontos x_i* em cada um dos sub-intervalos , para .

Qualquer uma das somas é denominada soma de Riemann para a função f, relativa à partição P e aos números x_i, para ; observe que a escolha da partição determina o tamanho de , para . Por isso mesmo, uma soma de Riemann é indicada por , dependendo de P e f.

Temos então:

Definição:

Assim, a integral definida da função f, sendo no intervalo , é igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses retângulos tende a infinito. Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo .