Consideremos os seguintes problemas:

Encontrar a área da região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de para .

Encontrar a área da região delimitada pelo eixo x e pelo gráfico de para .

Nos dois problemas observamos que os resultados são muito diferentes. Embora, em ambos os casos, tenhamos que calcular áreas de regiões infinitas, nem sempre a área de uma região desse tipo tem por resultado um número indefinidamente grande. Vamos então definir a área de uma tal região. Essa definição significa uma extensão do conceito de integral definida.

Definição: Sendo f uma função integrável em para todo b>a, .

Analogamente, temos:

Definição: Sendo f uma função integrável em para todo a<b, .

Se o limite existe e é um número real, dizemos que a integral imprópria converge. No caso do limite não existir ou não ser finito, dizemos que a integral imprópria diverge.

E ainda, de modo geral, temos:

Definição: Sendo f uma função integrável em para todo b, .

Na última definição dizemos que a integral imprópria converge quando ambas as integrais do segundo membro são convergentes.

Sendo a>1, diverge.

 

Mesmo que os extremos do intervalo de integração sejam números reais, podemos ter uma integral imprópria quando a função integrando não está definida em algum desses extremos.

 

Assim, se uma função não é limitada em alguma vizinhança de um ponto c de um intervalo , sendo contínua em e em , temos a seguinte:

Definição:

Se o resultado no segundo membro for um número real, dizemos que a integral converge; caso contrário, dizemos que ela diverge e, para que isso aconteça, basta que uma das duas integrais do segundo membro seja divergente.

diverge

diverge.

Muitas vezes, podemos decidir a respeito da convergência ou não de uma integral imprópria, mesmo sem calcular seu valor - no caso de ser convergente. Existe, para tanto, um importante critério, denominado Critério da Comparação que nos permite avaliar se uma integral imprópria é convergente ou divergente, através da comparação com outra cuja convergência ou divergência já está decidida.

É o caso, por exemplo, da seguinte integral imprópria:

converge.