A partir do conceito de área, foi possível colocar e resolver o seguinte problema: Se f é uma função contínua em [a,b] e tal que , para todo , então a área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico de f, para x variando em [a,b], é dada por: . Entretanto, a definição de integral definida de uma função contínua num intervalo pode ser naturalmente estendida, sem a condição a respeito do sinal da função no intervalo dado. Assim, , desde que tal limite exista. Voltamos a frisar que esse resultado somente representa a área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico de f, em determinado intervalo, quando nesse intervalo. Se no intervalo [a,b] então é o valor do negativo da área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico de f, e as retas e .
A integral definida verifica algumas propriedades: Se
f e g são funções integráveis
no intervalo [a,b], então a função f+g é
integrável em [a,b] e .
Se k é uma constante e f é uma função
integrável no intervalo [a,b], então a função
k.f é integrável em [a,b] e . Se
f é uma função integrável no intervalo
[a,b] e
em [a,b] então . Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então .
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