Volumes de Sólidos

1. Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal.

Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide - é .

Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é .

Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é .

Nesses problemas observamos que temos um sólido compreendido entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por

ou

conforme a secção transversal seja perpendicular ao eixo x ou y, respectivamente.

Essa é uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um sólido, quando a área de qualquer secção transversal é conhecida.

2. Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.

Seja f uma função contínua num intervalo , sendo para todo x, tal que . Consideremos o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x=a e x=b:

Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x.

Considerando uma partição P do intervalo : , tal que , seja:

onde para todo i, ,

que é uma soma de Riemann para a função , relativa à partição P do intervalo .

Definimos o volume do sólido B como sendo:

.

É preciso observar que cada secção transversal do sólido B, obtida a partir de x, , é um círculo centrado no ponto e raio f(x) e, portanto, cuja área é .

Seja , . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e .

Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para , sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados.

3. Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos.

Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas.

O volume de cada uma das cascas é dado por:

(o índice “e” refere-se a externo e o índice “i” refere-se a interno)

ou ainda, colocando e ,

Seja f uma função contínua num intervalo , com . Consideremos o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x=a e x=b. Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular.

Observemos as cascas cilíndricas compondo o sólido gerado:

Por esse processo, o volume do sólido composto das cascas cilíndricas é dado por:

onde indica o raio de cada invólucro e indica sua altura.

 

Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para , ao redor do eixo y.

 

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de e , para , ao redor do eixo y.