Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0o e 180o, de modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180o. Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos. Um
triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos
é reto, isto é, tem medida igual a 90o. Os outros
dois ângulos, evidentemente, são agudos.
Seno Seno de x é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o Seno de x por Sen x, temos: . Dado
um segmento , indicamos
o comprimento de por
AB, onde AB= med().
Cosseno Cosseno de x é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o Cosseno de x por Cos x, temos: . Tangente Tangente de x é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo . Indicando a Tangente de x por Tg x, temos: . Um fato interessante é que, como pode ser observado na figura abaixo, usando o fato de que os triângulos A1BC1, A2BC2, A3BC3, A4BC4, ... são semelhantes, imediatamente concluímos que
assim como,
e
ou seja, Sen x, Cos x, Tg x não dependem do particular triângulo retângulo ABC, mas apenas do ângulo , cuja medida é x graus. Observação : De acordo com a definição, é fácil verificar que , para todo x variando no intervalo ]0,90[.
Observação: No caso das funções definidas acima, temos: a imagem da função Sen é ]0,1[, bem como a da função Cos; a imagem da função Tg é . Entretanto, a fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo ser acutângulo ou obtusângulo, ampliamos o domínio das funções definidas acima, colocando: Um
triângulo é dito obtusângulo quando um de
seus ângulos é obtuso, isto é, tem medida maior
que 90o.
Um
triângulo é dito acutângulo quando todos os
seus ângulos são agudos, isto é, têm
medida estritamente menor do que 90o.
Sen 90=1 Sen (180-x)=Sen
x Problema: Defina as três funções estendidas, explicitando qual o domínio e qual a imagem de cada uma delas. Notação: indicando pela letra minúscula o lado oposto a cada vértice do triângulo, que é denotado pela correspondente letra maiúscula, e indicando por A a medida em graus do ângulo , B a medida em graus do ângulo e C a medida em graus do ângulo , temos: Lei
dos senos: Em todo triângulo ABC, valem as relações:
Entretanto, não
interessa a limitação do domínio dessas funções
Sen, Cos e Tg, ao intervalo ]0,180[, nem tampouco o uso da unidade grau
para a medida dos ângulos, pois queremos definir funções
cujos domínios sejam os maiores possíveis dentro do conjunto
de todos os números reais, inclusive com uma medida que seja mais
interessante. Para isso, precisamos abandonar o triângulo retângulo
e utilizar um outro modelo geométrico que nos permita estabelecer
relações semelhantes àquelas válidas no triângulo
retângulo. O modelo geométrico é a
circunferência orientada de raio unitário, na qual será
possível ampliar todos os conceitos e alcançar os objetivos
propostos.
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