Consideremos uma semi-reta OA, tal que o comprimento do segmento OA seja unitário. Escolhemos também um referencial cartesiano tal que o semi-eixo x positivo coincida com a semi-reta OA e o semi-eixo y positivo seja obtido girando a semi-reta OA no sentido anti-horário, de 90^o ou radianos. Dessa maneira, temos o modelo geométrico que é a circunferência trigonométrica.

Dado um número real x, associamos a ele o ponto P=P(x) no círculo unitário, de tal modo que o comprimento do arco AP é x unidades de medida de comprimento, ou seja, a medida do arco AP é x radianos. Também podemos dizer que o arco AP e, portanto, o ângulo central tem .

Definimos as funções seno, cosseno e tangente do número real x da seguinte maneira:

cos x: é a abscissa de P
sen x: é a ordenada de P
, se

Desse modo, dado um número x real, fica determinado, na circunferência trigonométrica, o ponto:

P=P(x)=(cos x, sen x).

Como conseqüência das definições de sen x, cos x e tg x, temos que:

· P(0) = A = (1,0) e, portanto, cos 0 = 1, sen 0 = 0, tg 0 = 0.
· P = (0,1) e, portanto, cos = 0, sen =1, enquanto tg não existe, pois cos = 0.

Propriedades:

i) Dados P(x) = (cos x, sen x) e P(-x) = (cos(-x), sen(-x)), pode-se provar que

cos(-x)=cos x e sen(-x)=-sen(x). E a tg(x)?

Dessa maneira, concluímos que P(-x) é o ponto simétrico de P(x) em relação ao eixo horizontal.

Também notamos que cos é uma função par, e que sen é uma função ímpar

ii) Dados os pontos:

P(x)=(cos x, sen x) e ,
pode-se provar que e que . E a ?

Dessa maneira, temos que é o ponto simétrico de P(x) em relação à reta y = x, que é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

A partir das propriedades acima, é possível mostrar que:

iii) sen =cos x e cos ;

iv) e ;

v) e ;

vi) e ;

vii) e .

Através dessas propriedades, dado um número real x qualquer, determinamos um arco e, portanto, um ângulo central correspondente, e sabemos determinar o seno e o cosseno desse número real, não importando em qual quadrante se encontre o ponto P(x). Essas relações são conhecidas como fórmulas de redução ao primeiro quadrante, pois nos permitem encontrar o seno e o cosseno de um número real qualquer, em termos daquele outro número real que determina um arco no primeiro quadrante.

Finalmente, utilizando a circunferência trigonométrica, é possível mostrar que, para todos a e b reais, valem as relações:

cos(a+b) = cos a.cos b-sen a.sen b

sen(a+b) = sen a.cos b+sen b.cos a

que permitem calcular o seno e o cosseno da soma de dois arcos em termos do seno e cosseno desses arcos separadamente considerados.

Uma questão que se coloca é a seguinte: essas funções têm qual relação com aquelas de mesmo nome - que, para fazer uma distinção, nomeamos com inicial maiúscula - que foram definidas no triângulo retângulo?