Consideremos uma semi-reta OA, tal que o comprimento do segmento OA seja unitário. Escolhemos também um referencial cartesiano tal que o semi-eixo x positivo coincida com a semi-reta OA e o semi-eixo y positivo seja obtido girando a semi-reta OA no sentido anti-horário, de 90o ou radianos. Dessa maneira, temos o modelo geométrico que é a circunferência trigonométrica.
Definimos as funções seno, cosseno e tangente do número real x da seguinte maneira: cos x: é
a abscissa de P Desse modo, dado um número x real, fica determinado, na circunferência trigonométrica, o ponto: P=P(x)=(cos x, sen x).
· P(0)
= A = (1,0) e, portanto, cos 0 =
1, sen 0 = 0, tg 0 =
0.
i) Dados P(x) = (cos x, sen x) e P(-x) = (cos(-x), sen(-x)), pode-se provar que cos(-x)=cos x e sen(-x)=-sen(x). E a tg(x)?
Dessa maneira, concluímos que P(-x) é o ponto simétrico de P(x) em relação ao eixo horizontal. Também notamos que cos é uma função par, e que sen é uma função ímpar ii) Dados os pontos: P(x)=(cos x, sen x)
e ,
Dessa maneira, temos que é o ponto simétrico de P(x) em relação à reta y = x, que é a bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.
iii) sen =cos x e cos ; iv) e ; v) e ; vi) e ; vii) e . Através dessas propriedades, dado um número real x qualquer, determinamos um arco e, portanto, um ângulo central correspondente, e sabemos determinar o seno e o cosseno desse número real, não importando em qual quadrante se encontre o ponto P(x). Essas relações são conhecidas como fórmulas de redução ao primeiro quadrante, pois nos permitem encontrar o seno e o cosseno de um número real qualquer, em termos daquele outro número real que determina um arco no primeiro quadrante. Finalmente, utilizando a circunferência trigonométrica, é possível mostrar que, para todos a e b reais, valem as relações: cos(a+b)
= cos a.cos b-sen a.sen b bem como sen(a+b) = sen a.cos b+sen b.cos a
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