A área da região

Consideremos a hipérbole e o ramo positivo de seu gráfico, isto é o trecho do gráfico determinado pelos valores reais e positivos de x.

Vamos estabelecer um procedimento para calcular a área sob o gráfico de para e acima do eixo x. Estamos denotando essa região por .

A região

Para calcular a área de , consideramos uma partição do intervalo [1,a], isto é, um conjunto finito e qualquer de pontos que subdividem o referido intervalo em sub-intervalos. Em cada sub-intervalo [m,n] do intervalo [1,a], consideramos o retângulo inscrito em , cuja base tem comprimento n-m e cuja altura é .

O retângulo cuja base mede n-m e cuja altura mede

A soma das áreas dos retângulos desse tipo será utilizada para obter uma aproximação por falta da área de .

A aproximação será tanto melhor quanto mais fina for a partição do intervalo [1,a]; ou seja, quanto mais pontos estiverem sendo considerados na subdivisão do intervalo dado, menor será a diferença entre o "valor exato da área de " e a soma das áreas dos retângulos inscritos.

A área de aproximado por falta

O "valor exato da área de " é o limite da soma das áreas dos retângulos inscritos quando o número deles tende a infinito, isto é, quando o número de pontos da partição tende a infinito, ou ainda quando o comprimento do maior dos sub-intervalos tende a zero.

É preciso observar que um raciocínio análogo poderia ter sido desenvolvido a partir das áreas dos retângulos obtidos ao considerar a base de medida n-m e altura . Nesse caso, ao calcular a soma das áreas de retângulos considerados dessa maneira, estaríamos calculando uma aproximação por excesso da área da região.

A área de aproximado por excesso

As áreas das regiões que estamos considerando, isto é, as regiões do tipo gozam de uma propriedade fundamental, que nos permitirá obter uma caracterização interessante para elas, e definir a função logarítmica y=ln x.