A idéia de operação é muito antiga. Os babilônios já tinham a noção de raiz quadrada e raiz cúbica e conheciam um algoritmo para a determinação das raízes quadrada ou cúbica de um número, embora não distinguissem valor aproximado de valor exato com algum tipo de rigor.
Com os gregos, a Matemática passou a ser encarada como uma ciência dedutiva, começando a fincar estacas para constituir um conjunto articulado de conceitos e técnicas. Nesse aspecto, na Geometria, Os Elementos de Euclides, tiveram um papel fundamental.
Os gregos, em relação à operação inversa de radiciação, faziam distinção clara entre valor exato e valor aproximado em seus cálculos.
Por volta do século XIV, começou a germinar a idéia de função. Com Euler e Lagrange - século XVIII - a idéia em vigor era a de que uma função era aquilo que tem uma expressão algébrica; em geral, as funções que eles consideravam eram contínuas e deriváveis. Somente com Fourier, no século XIX, apareceram funções "esquisitas", não necessariamente contínuas. Foi nessa época que o conceito de função ficou estabelecido. A sistematização, para se chegar à definição atual de função, ocorreu ainda no século XIX, com Dirichlet. Aí também surgiu o conceito de função inversível.

Dada a função , f(x)=x³,
observamos que f é inversível e que sua inversa é , g(x)= .

Dada a função , f(x)=x², observamos que, neste caso, f não é inversível, ou seja, não existe a função inversa de f.

A função , f(x)=x², é inversível e sua inversa é , .

Também a função , f(x)=x², admite inversa , .


Uma consideração importante faz-se necessária.

Vimos na Situação 2, que a função f(x)=x² com Dom f=R e Im f=R₊ não é inversível. Entretanto, considerando a função

conforme a Situação 3, temos que esta é inversível, com inversa .

Analogamente, podemos considerar

que também é inversível, com inversa , conforme Situação 4.

É preciso ficar claro que, dada uma função , se ela não for inversível, é possível restringir o domínio de tal modo que a função definida nesse novo domínio seja inversível. Normalmente, ao considerar a função restrita a um subconjunto do domínio inicial, denotamo-la de uma forma um pouco mais complicada; no exemplo acima: e , que se lêem, respectivamente, "f restrita a R₊" e "f restrita a R_-".

Façamos agora outras considerações. Em todos as situações vistas, os gráficos de uma função e de sua inversa apresentaram uma característica importante, qual seja, em cada caso, a simetria em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja em relação à reta y=x.

Este fato é natural e ocorre sempre, pois, sendo f inversível, a sua inversa f^-1, a cada número real da imagem de f deve associar o número x do domínio de f , isto é,

.

Assim, se o par ordenado (x,f(x)) está no gráfico de f, o par ordenado (f(x),x) estará no gráfico de g. Esses pares ordenados são pontos simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes do primeiro e terceiro quadrantes.

Após a análise das situações e as considerações realizadas, podemos estabelecer as seguintes conclusões:

i) Se uma função f admite uma inversa g, então g também admite uma inversa que é a própria f.
ii) Dada uma função dizemos que ela é inversível quando podemos determinar uma outra função que "desfaz o serviço de f", isto é, tal que

e

Nesse caso, g é denominada a função inversa de f e, portanto, f é a inversa de g. Normalmente, a função inversa de f é denotada por .
iii) Para uma função f ser inversível, é suficiente que a função seja estritamente crescente ou estritamente decrescente em seu domínio. Isso significa que ela deve ser bijetora sobre a imagem.

Verifiquemos que a inversa de f(x) = 1 - 2x é a função .

Uma pergunta natural é a seguinte: dada uma função f, como fazemos, na prática, para determinar sua inversa?

Vejamos: se temos a função f, significa que para cada valor da variável independente x obtemos, em correspondência, um valor para a variável dependente y.

Ao procurar a inversa de f pretendemos encontrar a função g que, a cada y na imagem de f associa o x inicial no domínio de f .

No caso da Situação 5, a função foi dada por y=f(x)=1-2x.

Assim, podemos escrever que , ou seja, que nos fornece a variável x na dependência de y.
Como, normalmente, denotamos a variável independente pela letra x, escrevemos ou também