Examinemos algumas funções, seus respectivos gráficos e imagens:

Dada a função . O que podemos dizer sobre a imagem da função?

Dada a função . O que podemos dizer sobre a imagem de f?

Analise a imagem da função através de seu gráfico.

Definição: Uma função f é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida num intervalo, ou seja, , onde a, b R. Podemos também utilizar a seguinte notação: , sendo .

É conveniente observar que, se para todo , então podemos examinar qual dos dois números, ou é o maior e chamamos .
Assim, podemos dizer que ou que .

No caso de uma função contínua em R, a análise dos limites quando ou , nos fornece a informação necessária para decidir sobre a existência ou não de um limitante para a função.

Seja f uma função limitada. Uma pergunta natural que surge é: a função , k IR, cujo gráfico é o resultado de uma translação vertical de k unidades no gráfico de f, também é limitada?

Seja f uma função limitada. A função , , também é limitada? Em outras palavras, se provocamos uma mudança de inclinação no gráfico de f, ainda assim temos o gráfico de uma função limitada?

Seja f uma função limitada. A função , , cujo gráfico é o resultado de uma translação horizontal no gráfico de f, também é limitada?

Seja f uma função limitada. A função , também é limitada?

Dadas as funções limitadas f e g, uma pergunta que surge é: a função soma f + g é uma função limitada?

Dadas as funções limitadas f e g, a função produto f.g é uma função limitada?