A função exponencial mais simples é a função . Cada ponto do gráfico é da forma pois a ordenada é sempre o resultado de e^x, ou seja, a exponencial de base e do número x.

O domínio da função é e a imagem é o conjunto .
O eixo horizontal é uma assíntota do gráfico da função. O que queremos aqui é descobrir como é o gráfico de uma função exponencial geral, quando comparado ao gráfico de , a partir das transformações sofridas por esta função.

Consideremos uma função exponencial cuja expressão é dada por , onde k é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função quando comparado ao gráfico da função inicial ?

Vejamos qual o papel desempenhado por uma constante b, não nula, na função exponencial da forma , quando a comparamos à função mais simples .

Ainda podemos pensar numa função exponencial que seja dada pela expressão , onde a é uma constante real, a 0

Uma questão que ainda se coloca é a consideração de funções exponenciais do tipo , onde m é um número real não nulo.

Se , desenhe seu gráfico, fazendo os gráficos intermediários, todos num mesmo par de eixos.

Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções exponenciais do tipo , onde os coeficientes a e b não são zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples , quando fazemos, em primeiro lugar, ; em seguida, , depois e, finalmente, .

Analisemos o que aconteceu:

em primeiro lugar, sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x=-m exerce o papel que x=0 exercia em ;

em segundo lugar, em ocorreu mudança de inclinação, deixando fixo o ponto (-m,1) quando comparamos o gráfico com o anterior; essa mudança de inclinação foi provocada pelo fator b no expoente, que muda a base da função exponencial;

a seguir, no gráfico de ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada é igual àquela do ponto de mesma abscissa em , multiplicada pelo coeficiente a;

por fim, o gráfico de sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfico de ficaram acrescidas de k.

O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das funções esboçados no mesmo referencial cartesiano.