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A função
exponencial
mais simples é a função .
Cada ponto do gráfico é da forma
pois
a ordenada é sempre o resultado de ex, ou seja, a exponencial
de base e do número x.

O domínio da
função
é
e a imagem é o conjunto .
O eixo horizontal é uma assíntota
do gráfico da função. O que queremos aqui é
descobrir como é o gráfico de uma função exponencial
geral, quando comparado ao gráfico de ,
a partir das transformações
sofridas por esta função.
De fato, o gráfico se
aproxima cada vez mais da reta y = 0.
Consideremos uma função exponencial cuja expressão
é dada por ,
onde k é uma constante real. A pergunta natural a ser feita
é: qual a ação da constante k no gráfico
dessa nova função quando comparado ao gráfico da
função inicial ?
Vejamos qual o papel desempenhado por uma constante
b, não nula, na função exponencial da forma ,
quando a comparamos à função mais simples .
Se
b=0, temos a função constante y=1, que não interessa
nesta situação.
Ainda podemos pensar numa função exponencial que seja dada
pela expressão ,
onde
a é uma constante real, a
0
Observe
que se a=0, a função obtida não será exponencial,
pois será a constante real nula.
Uma questão que ainda se coloca é a consideração
de funções exponenciais do tipo ,
onde m é um número real não nulo.
Se
,
desenhe seu gráfico, fazendo os gráficos intermediários,
todos num mesmo par de eixos.
Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções
exponenciais do tipo ,
onde os coeficientes a e b não são zero, examinando as transformações
do gráfico da função mais simples ,
quando fazemos, em primeiro lugar, ;
em seguida, ,
depois e,
finalmente, .
Analisemos o que
aconteceu:
em primeiro lugar,
sofreu
uma translação horizontal de -m
unidades, pois x=-m exerce o papel que x=0
exercia em ;
em segundo lugar,
em ocorreu
mudança de inclinação, deixando fixo o ponto (-m,1)
quando comparamos o gráfico com o anterior; essa mudança
de inclinação foi provocada pelo fator b no expoente, que
muda a base da função exponencial;
a seguir, no gráfico
de ocorreu
mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada
é igual àquela do ponto de mesma abscissa em ,
multiplicada pelo coeficiente a;
por fim, o gráfico
de sofreu
uma translação vertical de k unidades, pois, para cada abscissa,
as ordenadas dos pontos do gráfico de
ficaram acrescidas de k.
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia
na resolução de equações ou inequações,
pois as operações algébricas a serem realizadas
adquirem um significado que é visível nos gráficos
das funções esboçados no mesmo referencial cartesiano.
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