Encontre a derivada da função y=f(x)=(2x+1)⁵.

Neste caso, o trabalho de expansão é tedioso, mas não é muito difícil, nem tão demorado.

Entretanto se, no caso de y=f(x)=(2x+1)²⁰⁰, utilizarmos o Binômio de Newton para desenvolver (2x+1)²⁰⁰, e em seguida, acharmos a derivada, não parece ser uma boa idéia por ser muito trabalhoso.

Caso alguém se aventurasse a fazer tal desenvolvimento, apresentaríamos um expoente ainda maior, até recebermos uma resposta do tipo: que loucura!!!

A questão é que a expressão y=f(x)=(2x+1)²⁰⁰ denota uma função f que pode ser obtida como composição de duas outras funções, ou seja, - que significa f(x)=h(g(x)) para todo x real - onde

g(x)=2x+1 e h(x)=x²⁰⁰,

logo h(g(x))=(2x+1)²⁰⁰.

Precisamos encontrar uma forma de calcular a derivada da função composta a partir das derivadas das funções componentes.

Considerando a função y=f(x)=(x³)², calcule sua derivada.

Calcule o produto das derivadas das funções y=h(u)=u² e u=g(x)=x³. Considerando a função f(x)=h(g(x))=(x³)², qual a sua conclusão a respeito da derivada f'?

Verifique que no exemplo da Situação 1 a conclusão da Situação 3 é satisfeita.

Nessas situações vimos que se y=h(u) e u=g(x), ou seja, y=h(g(x)), sendo h e g deriváveis, então a função composta y=h(g(x)) é derivável e

A questão que emerge é a seguinte: será que isso acontece sempre?

A resposta é afirmativa e, intuitivamente, podemos perceber que tal fato é razoável, pois se, em cada ponto, y está variando k vezes em relação a u e u está variando b vezes em relação a x, então y está variando k.b vezes em relação a x.

A propriedade que garante formalmente a veracidade de tal conjectura é conhecida como a Regra da Cadeia, que fornece a derivada da função composta.

Regra da Cadeia: Sejam y=h(u) e u=g(x) duas funções deriváveis, com , e consideremos a função composta y=f(x)=h[g(x)]. Então f é derivável e f'(x)=h'(g(x)).g'(x), para todo .