Encontre a derivada da função y=f(x)=(2x+1)5. Neste caso, o trabalho de expansão é tedioso, mas não é muito difícil, nem tão demorado. Entretanto se, no caso de y=f(x)=(2x+1)200, utilizarmos o Binômio de Newton para desenvolver (2x+1)200, e em seguida, acharmos a derivada, não parece ser uma boa idéia por ser muito trabalhoso. Caso alguém se aventurasse a fazer tal desenvolvimento, apresentaríamos um expoente ainda maior, até recebermos uma resposta do tipo: que loucura!!! A questão é que a expressão y=f(x)=(2x+1)200 denota uma função f que pode ser obtida como composição de duas outras funções, ou seja, - que significa f(x)=h(g(x)) para todo x real - onde g(x)=2x+1 e h(x)=x200, logo h(g(x))=(2x+1)200. Precisamos encontrar uma forma de calcular a derivada da função composta a partir das derivadas das funções componentes. Considerando a função y=f(x)=(x3)2, calcule sua derivada. Calcule o produto das derivadas das funções y=h(u)=u2 e u=g(x)=x3. Considerando a função f(x)=h(g(x))=(x3)2, qual a sua conclusão a respeito da derivada f'? Verifique que no exemplo da Situação 1 a conclusão da Situação 3 é satisfeita. Nessas situações
vimos que se y=h(u) e u=g(x), ou seja, y=h(g(x)), sendo h e g
deriváveis, então a função composta y=h(g(x))
é derivável e A questão que emerge é a seguinte: será que isso acontece sempre? A resposta é afirmativa e, intuitivamente, podemos perceber que tal fato é razoável, pois se, em cada ponto, y está variando k vezes em relação a u e u está variando b vezes em relação a x, então y está variando k.b vezes em relação a x. A propriedade que garante formalmente a veracidade de tal conjectura é conhecida como a Regra da Cadeia, que fornece a derivada da função composta. Regra da Cadeia: Sejam y=h(u) e u=g(x) duas funções deriváveis, com , e consideremos a função composta y=f(x)=h[g(x)]. Então f é derivável e f'(x)=h'(g(x)).g'(x), para todo .
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