Quando escrevemos y=f(x), estamos dizendo que y é uma função da variável independente x, explicitando a expressão da referida função. É o caso, por exemplo, de:

• y=x²
• y=sen x
• y=ln x+3x-4tg x
• e assim por diante...

Podemos estabelecer uma infinidade de funções dessa maneira.

Entretanto, muitas vezes, encontramos equações relacionando as variáveis x e y, nas quais a variável y não está escrita como uma função da variável x, como por exemplo:

• x+y=1
• x²+y²=1
• y+e^y-x=2
• 
• 

Na primeira equação, conseguimos facilmente explicitar a variável y escrevendo:

y=1-x

Na segunda, temos y²=1-x², ou seja, podemos escrever:

ou ,

isto é, a equação dada fornece duas funções na variável x.

Na terceira e quarta equações simplesmente não conseguimos isolar a variável y e, na última, se possível for, certamente não será muito fácil.

Assim, dada uma equação envolvendo as variáveis x e y, quando conseguimos isolar a variável y, dizemos que y é uma função de x e podemos naturalmente estudá-la. Entretanto, quando não conseguimos isolar y, dizemos que y é uma função implícita de x, ou que a relação dada define y implicitamente como uma função de x.

É talvez surpreendente que possamos calcular a derivada de uma função implícita sem explicitar primeiro a variável y. Com isso, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva, mesmo que ela não represente o gráfico de uma função. Evidentemente, isso só não será possível se essa reta tangente for uma reta vertical, pois nesse caso o coeficiente angular não existirá, pois não existe .

No caso, por exemplo, de uma equação polinomial nas variáveis x e y podemos, muitas vezes, desenhar uma curva plana como o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem a referida equação. O cálculo da derivada da função implícita y em determinado ponto x₀, nos permite encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto - ou nos pontos - de abscissa x₀.

Se x²+y²=1, então derivando implicitamente, considerando que y=y(x), encontramos se y>0 ou se y<0.

Se , então e, derivando implicitamente, chegamos ao resultado conhecido , para x>0.

Usando derivação implícita, sendo , com x>0, encontramos que

Usando derivação implícita, sendo y(x)=arcsen x, encontramos que , para .

Usando derivação implícita, sendo y(x)=arctg x, encontramos que , para todo .

De modo geral, se f é uma função inversível, derivável, com derivada não nula e se sua inversa f^-1 é derivável, então .

Enfraquecendo as hipóteses da Situação 6, temos uma propriedade mais geral, que é o Teorema da Função Inversa.

Teorema da Função Inversa: Seja f inversível com inversa f^-1. Se f for derivável em com , e se f^-1 for contínua em y₀, então será derivável em y₀, com .