No estudo sobre a taxa de variação pontual, dada uma função y=f(x), e fixado um valor x₀ do domínio de f, consideramos um acréscimo Dx, positivo ou negativo, de modo que o intervalo

[x₀,x₀+Dx ], se Dx>0, ou [x₀+Dx , x₀] se Dx<0

esteja inteiramente contido no domínio da função;

calculamos então o quociente

que fornece a taxa de variação média da função f no referido intervalo.

A seguir, calculamos o que fornece a taxa de variação pontual de f no ponto x.

Observação: Ao escrever estamos pensando nos dois limites laterais e , obtidos quando fazemos Dx se aproximar de 0 pela direita - isto é, Dx > 0 - ou pela esquerda - isto é, Dx < 0 - respectivamente.

Definição: Chamamos de derivada da função y=f(x) no ponto x₀, ao limite da taxa de variação média quando Dx®0, se tal limite existe.

Desse modo, a derivada da função no ponto x₀ pode ser entendida como sendo a taxa de variação pontual, no ponto x₀.

Indicamos tal fato por:

Observação: Colocando x=x₀+Dx , temosDx=x-x₀. Então, se Dx®0, temos Dx®x₀.

Portanto, podemos, equivalentemente, escrever:

que é uma outra maneira de se escrever a derivada da função f no ponto x₀.

Observações:

1. Se a função y=f(x) admite derivada em um ponto, dizemos que a função é derivável nesse ponto.

2. Se a função y=f(x) admite derivada em todos os pontos de um intervalo, dizemos que a função é derivável nesse intervalo. É preciso observar que estamos nos referindo a um intervalo aberto, pois numa extremidade de um intervalo fechado não poderemos estar calculando o limite que exige que o acréscimo Dx tenda a zero pelos dois lados: pela esquerda e pela direita.

Notação:

Existem várias formas para indicar a derivada de uma função y=f(x), num ponto x₀:

1) f'(x₀)

2)

3)

Na última notação não fica explícito o ponto no qual a derivada está sendo calculada. Quando isso for necessário, essa notação fica: ou

A notação utilizando a forma de quociente é devida a Leibniz.