Primitivação por frações parciais

Esta técnica é utilizada quando precisamos encontrar a família de primitivas de uma função que é dada por uma fração racional, isto é, pelo quociente de dois polinômios. Os primeiros exemplos são muito simples e, na verdade, não apresentam nada de novo.

O primeiro exemplo envolve uma substituição bem fácil:

O segundo é um exemplo importante, mas também é fácil pois é uma primitiva imediata.

Um exemplo um pouco mais geral pode ser o seguinte:

No exemplo a seguir, a função integrando é uma fração racional e resolvemos a integral através de uma substituição, já que, no numerador temos "quase" a derivada da função que aparece no denominador.

No exemplo seguinte precisamos da nova técnica:

De modo geral, uma função racional pode ser decomposta numa soma de frações mais simples e, por isso, dizemos que fazemos a decomposição em frações parciais. Evidentemente, se o grau do polinômio do numerador for maior ou igual ao grau do polinômio do denominador, em primeiro lugar, efetuamos a divisão dos polinômios, para separar a "parte inteira". Depois decompormos a fração resultante em frações parciais.

A decomposição é feita com base em quatro Teoremas de Existência que, basicamente, resolvem o problema:

Sejam a, b, a, b, números reais, com . Então, existem números reais A e B, tais que:

Sejam a, b, números reais, com e P um polinômio cujo grau é estritamente menor que 3. Então, existem números reais A, B e D, tais que:

 

Sejam b, c, a, números reais e P um polinômio cujo grau é estritamente menor que 3. Suponhamos ainda que não admite raízes reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, existem números reais A, B e D, tais que:

Sejam b, c, a , números reais e P um polinômio cujo grau é estritamente menor que 5. Suponhamos ainda que não admite raízes reais, isto é, seu discriminante é menor que zero. Então, existem números reais A, B, D, E e F, tais que:

Precisamos observar que o polinômio do denominador sempre pode ser decomposto num produto de fatores de primeiro e segundo graus. Os fatores de primeiro grau aparecem quando existem raízes reais; as raízes complexas são responsáveis pelos fatores de segundo grau.

Evidentemente, todos esses teoremas poderiam ser enunciados numa forma mais geral. O que precisa estar claro é que o grau do polinômio do numerador deve ser estritamente menor do que o grau do polinômio do denominador, para podermos efetuar a decomposição em frações parciais. Se esse não for o caso, primeiro fazemos a divisão de polinômios, a fim de tornar o problema mais simples, como no Exemplo 9.