Nosso objetivo é achar uma expressão para o cálculo da área da região compreendida entre o eixo x e a curva y=x² para x variando no intervalo [0,k], onde k é um valor real qualquer.

Vamos calcular essa área por falta e por excesso.

• Cálculo da área da região compreendida entre o eixo x e a curva y= x² para x variando no intervalo [0,k], onde k é um valor real qualquer, aproximada por falta:

Dividimos o intervalo [0,k] em n partes iguais.

Dessa forma, cada sub-intervalo tem comprimento igual a .

O i-ésimo sub-intervalo, para , determina um retângulo cuja base mede e cuja altura é .

Dessa forma, a área aproximada por falta é dada por:

• Cálculo da área da região compreendida entre o eixo x e a curva y=x² para x variando no intervalo [0,k], onde k é um valor real qualquer, aproximada por excesso:

Dividimos o intervalo [0,k] em n partes iguais.

Dessa forma, cada sub-intervalo tem comprimento igual a .
O i-ésimo sub-intervalo, para , determina um retângulo cuja base mede e cuja altura é .
Dessa forma, a área aproximada por excesso é dada por:

Assim, a área da região, dependendo do número n de divisões do intervalo [0,k], está compreendida entre dois valores:

Fazendo o número n de divisões do intervalo [0,k], crescer indefinidamente, temos:

e

Logo, pelo Teorema do Confronto,

.

Isso significa que, por exemplo, a área da região compreendida entre o eixo x e a curva para x variando no intervalo [0,4], é unidades de medida de área.