Comprimento de arco de uma curva

Seja uma função contínua em com derivada contínua em .

Queremos definir o comprimento de seu gráfico, que é a curva C, entre os pontos

e .

Para tanto, em primeiro lugar, vamos considerar uma partição P do intervalo :

, tal que :

 

Consideremos a linha poligonal determinada pelos pontos , , onde cada

.

Assim, o comprimento de C é dado por:

onde

Como f é contínua, com derivada contínua, por hipótese, a expressão para L pode ser melhorada. De fato, pelo Teorema do Valor Médio, podemos escrever:

para algum , tal que ,

ou seja,

onde para .

Dessa maneira,

uma vez que é uma soma de Riemann para a função relativa à partição P do intervalo .

Assim, o comprimento da curva C é:

.

O comprimento do arco de parábola, para , é igual a . Da mesma forma o comprimento do arco de parábola , para tem o mesmo valor.