Utilizando apenas os fatos:

i) cos(-x)=cos x e sen(-x)=-sen(x)

e

ii) sen =cos x e cos =sen x

podemos provar várias outras propriedades:

iii) sen =cos x e cos

Geometricamente, observamos que os triângulos OBP e OCQ são congruentes pelo caso LAA_o, pois ambos têm um lado que é raio, um ângulo reto e um ângulo de medida x radianos. Logo e são congruentes, bem como e . Para estabelecer a conclusão, basta observar o sinal que é dado pelo referencial cartesiano.

Também podemos provar utilizando apenas argumentos que se baseiam no fato que e nas propriedades i) e ii). Vejamos:

iv) e

Geometricamente, observamos que os triângulos OBP e OCQ são congruentes pelo caso LAA_o, pois ambos têm um lado que é raio, um ângulo reto e um ângulo de medida x radianos. Logo e são congruentes, bem como e . Para estabelecer a conclusão, basta novamente observar o sinal que é dado pelo referencial cartesiano.

Também podemos provar utilizando apenas argumentos que se baseiam no fato que e nas propriedades i), ii) e iii). Vejamos:

v) e

Geometricamente, observamos que os triângulos OBP e OCQ são congruentes pelo caso LAA_o, pois ambos têm um lado que é raio, um ângulo reto e um ângulo de medida x radianos. Logo e são congruentes, bem como e . Para estabelecer a conclusão, basta novamente observar o sinal que é dado pelo referencial cartesiano.

Também podemos provar utilizando apenas argumentos que se baseiam no fato que e na propriedade iii). Vejamos:

vi) e

Geometricamente, observamos que os triângulos OBP e OBQ são congruentes pelo caso LAA_o, pois ambos têm um lado que é raio, um ângulo reto e um ângulo de medida x radianos. Logo e são congruentes, bem como é lado comum. Para estabelecer a conclusão, basta novamente observar o sinal que é dado pelo referencial cartesiano.

Também podemos provar utilizando apenas argumentos que se baseiam no fato que e nas propriedades iv) e v). Vejamos:

vii) e

Nesse caso não há o que fazer pois os arcos x e diferem por uma volta inteira e, portanto têm o mesmo seno e o mesmo cosseno.
De modo geral e , para todo número inteiro k, pois os arcos x e diferem por um número inteiro de voltas e, portanto têm o mesmo seno e o mesmo cosseno.