Consideremos a função f(x)=tg x. Cada ponto do gráfico é da forma (x, tg x), pois a ordenada é sempre igual à tangente da abscissa, que é um número real que representa o comprimento do arco em u.m.c. ou a medida do arco em radianos.

O gráfico dessa função é o seguinte:

O domínio da função tangente é e a imagem é o conjunto R.
Trata-se de uma função periódica de período .
Agora, queremos descobrir como é o gráfico de uma função tangente mais geral, y=a.tg(bx+m)+k, quando comparado ao gráfico de y=tg x, a partir das transformações sofridas pelo gráfico dessa função.

Consideremos a função tangente cuja expressão é dada por , onde k é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfico desta nova função quando comparado ao gráfico da função inicial y=tg x?

Ainda podemos pensar numa função tangente que seja dada pela expressão , onde a é uma constante real, . Observe que se a=0, a função obtida não será a função tangente, mas sim a função constante real nula.

Uma questão a ser ainda considerada é a função do tipo , onde m é um número real não nulo.

Finalmente podemos pensar numa função tangente que seja dada pela expressão , onde b é uma constante real.

Seja . Desenhe seu gráfico, fazendo os gráficos intermediários, todos num mesmo par de eixos.

Conclusão: Podemos, portanto, considerar as funções tangente do tipo , onde os coeficientes a e b não são zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples y=f(x)=tg x, quando fazemos em primeiro lugar , em seguida , e, finalmente, .

Analisemos o que aconteceu:

• em primeiro lugar, sofreu uma translação horizontal de unidades, pois exerce o papel que x=0 exercia em y=tg x;
• em segundo lugar, sofreu uma mudança de período em relação a , passando a ter período ;
• a seguir, no gráfico de ocorreu uma mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada é igual àquela do ponto de mesma abscissa em multiplicada pelo coeficiente a;
• por fim, o gráfico de sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, a cada abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfico de ficaram acrescidas de k quando comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de .

O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das funções esboçadas no mesmo referencial cartesiano.