A função polinomial do primeiro grau mais simples é a função identidade
Cada ponto de seu gráfico é da forma  pois a ordenada y é sempre igual à abscissa x, para cada valor da variável independente x.


Nosso objetivo é o de entender a função mais geral , observando que seu gráfico pode ser obtido a partir do gráfico de  se consideramos as operações realizadas como transformações  no plano. Dessa forma, ao final, teremos uma visão de qual o significado dos parâmetros a e b envolvidos na expressão da função.

Assim, começando pela função y = x cujo gráfico é:



Observemos no gráfico que o ângulo, entre o eixo x e a reta resultante de y = x, mede 45o, uma vez que ela contém as bissetrizes do primeiro e do terceiro quadrantes.


 Uma função polinomial do primeiro grau um pouco mais geral tem a expressão dada por  onde b é uma constante real. A pergunta natural a ser feita é: qual a ação da constante b no gráfico dessa nova função quando comparado ao gráfico da função inicial

Ainda podemos pensar numa função polinomial do primeiro grau que seja dada pela expressão onde a é uma constante real, não nula. Novamente, a questão é investigar a ação do coeficiente a quando comparamos o gráfico de f2 ao de f0.

Dada , desenhe seu gráfico, fazendo os gráficos intermediários, percebendo as ações do coeficiente 2 e depois do coeficiente 1.


Finalmente, podemos estudar a função polinomial do primeiro grau mais geral, . Para tanto, interpretamos inicialmente a ação do coeficiente a da variável x e, em seguida, do termo b.

y=ax+b

Conclusão: De modo geral, conhecido o gráfico de y=x, podemos desenhar y=ax e, em seguida, y=ax+b.

Analisemos o que aconteceu:

  • em primeiro lugar, em y=ax, ocorreu mudança de inclinação pois em cada ponto a ordenada é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y=x, multiplicada pelo coeficiente a;
  • em seguida, o gráfico de y=ax+b sofreu uma translação vertical de b unidades, pois, para cada abscissa, a ordenada do ponto no gráfico de y=ax+b ficou acrescida de b, quando comparada à ordenada do ponto de mesma abscissa no gráfico de y=ax.

Nomenclatura: A função polinomial do primeiro grau , com a não nulo, tem como domínio o conjunto R e imagem também o conjunto R, pois a variável independente x pode assumir qualquer valor e a variável dependente y=f(x) assume, em correspondência, um valor que pode ser qualquer número real.

O coeficiente a determina a inclinação do gráfico e é denominado coeficiente angular da reta; a constante b, que determina a translação vertical do gráfico, recebe o nome de coeficiente linear da reta.

O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das funções esboçados no mesmo referencial cartesiano.