Ângulos no triângulo - Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0^o e 180^o, de modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180^o.

Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos.

No triângulo retângulo ABC, consideremos, por exemplo, o ângulo que tem vértice em B, cuja medida x, em graus, é um número real que está no intervalo . Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões:

Seno

Seno de x é a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo. Indicando o Seno de x por Sen x, temos: .

Cosseno

Cosseno de x é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa do triângulo. Indicando o Cosseno de x por Cos x, temos: .

Tangente

Tangente de x é a razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo . Indicando a Tangente de x por Tg x, temos: .

Um fato interessante é que, como pode ser observado na figura abaixo, usando o fato de que os triângulos A₁BC₁, A₂BC₂, A₃BC₃, A₄BC₄, ... são semelhantes, imediatamente concluímos que

assim como,

e

ou seja, Sen x, Cos x, Tg x não dependem do particular triângulo retângulo ABC, mas apenas do ângulo , cuja medida é x graus.

Observação: De acordo com a definição, é fácil verificar que , para todo x variando no intervalo ]0,90[.

Temos assim, a possibilidade de definir três funções que têm como domínio o intervalo ]0,90[, da seguinte maneira: se x variando em ]0,90[, representa a medida em graus de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos:

Observação: No caso das funções definidas acima, temos: a imagem da função Sen é ]0,1[, bem como a da função Cos; a imagem da função Tg é .

Entretanto, a fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo ser acutângulo ou obtusângulo, ampliamos o domínio das funções definidas acima, colocando:

Sen 90=1
Cos 90=0

Sen (180-x)=Sen x
Cos(180-x)=-Cos x
Tg(180-x)=-Tgx

Problema: Defina as três funções estendidas, explicitando qual o domínio e qual a imagem de cada uma delas.

Indicando pela letra minúscula o lado oposto a cada vértice do triângulo, que é denotado pela correspondente letra maiúscula, e indicando por A a medida em graus do ângulo , B a medida em graus do ângulo e C a medida em graus do ângulo , temos:

Lei dos senos:
Em todo triângulo ABC, vale a seguinte relação:

Lei dos cossenos:

Em todo triângulo ABC, valem as relações:

Entretanto, não interessa a limitação do domínio dessas funções Sen, Cos e Tg, ao intervalo ]0,180[, nem tampouco o uso da unidade grau para a medida dos ângulos, pois queremos definir funções cujos domínios sejam os maiores possíveis dentro do conjunto de todos os números reais, inclusive com uma medida que seja mais interessante. Para isso, precisamos abandonar o triângulo retângulo e utilizar um outro modelo geométrico que nos permita estabelecer relações semelhantes àquelas válidas no triângulo retângulo. O modelo geométrico é a circunferência orientada de raio unitário, na qual será possível ampliar todos os conceitos e alcançar os objetivos propostos.