Funções trigonométricas na circunferência trigonométrica

Consideremos uma semi-reta OA, tal que o comprimento do segmento OA seja unitário. Escolhemos também um referencial cartesiano tal que o semi-eixo x positivo coincida com a semi-reta OA e o semi-eixo y positivo seja obtido girando a semi-reta OA no sentido anti-horário, de 90o ou radianos. Dessa maneira, temos o modelo geométrico que é a circunferência trigonométrica.

Dado um número real x, associamos a ele o ponto P=P(x) no círculo unitário, de tal modo que o comprimento do arco AP é x unidades de medida de comprimento, ou seja, a medida do arco AP é x radianos. Também podemos dizer que o arco AP e, portanto, o ângulo central tem .


Definimos as funções seno, cosseno e tangente do número real x da seguinte maneira:

cos x: é a abscissa de P

sen x: é a ordenada de P

, se

Desse modo, dado um número x real, fica determinado o ponto

  • P=P(x)=(cos x, sen x).


Como conseqüência das definições, temos que:

  • P(0)=A=(1,0) e, portanto, cos 0=1, sen 0=0, tg 0=0.
  • P =(0,1) e, portanto, cos =0, sen=1, enquanto tg não existe, pois
    cos =0.


    Propriedades:

    i) O refletido do ponto P(x)=(xP,yP) em relação ao eixo x é o ponto P'(x)=(xP,-yP).



    Logo P'(x)=P(-x) e daí cos(-x)=cos x e sen(-x)=-sen(x). E tg(-x)?

    Dessa maneira, cos é uma função par, enquanto que sen é uma função ímpar.

    ii) o refletido de P(x)=(xP,yP) em relação à reta y=x é o ponto P'(x)=(yP,xP). Logo


    Logo P'(x)= e daí sen =cos x e cos =sen x. E tg ?


    A partir das propriedades acima, é possível mostrar que

  • iii ) sen =cos x e cos ;
  • iv ) e ;
  • v ) e ;
  • vi ) e ;
  • vii) e .

    Através dessas propriedades, dado um número real x qualquer, determinamos um arco e, portanto, um ângulo central correspondente, e sabemos determinar o seno e o cosseno desse número real, não importando em qual quadrante se encontre o ponto P(x). Essas relações são conhecidas como fórmulas de redução ao primeiro quadrante, pois nos permitem encontrar o seno e o cosseno de um número real qualquer, em termos de um outro número real que determina um arco no primeiro quadrante.

    Observação: Pensando nas funções que acabamos de definir, na circunferência trigonométrica, observamos que, sem restrição alguma - seno e cosseno - estão definidas para todo número real. Teremos restrição sim no domínio da função tangente, pois ela não está definida para os valores de x para os quais cos x=0.

    Uma questão que se coloca é a seguinte: essas funções têm qual relação com aquelas de mesmo nome - que, para fazer uma "certa" distinção, nomeamos com inicial maiúscula - que foram definidas no triângulo retângulo?

    Queremos chamar a atenção para a vantagem de estarmos medindo os arcos e, portanto, os ângulos centrais em radianos e não em graus. Não importando qual a unidade de medida escolhida no sistema de coordenadas, teremos os arcos - em radianos - representando os valores de x e os valores de sen x, cos x e tg x todos na mesma unidade. Dessa maneira podemos calcular, por exemplo, .

    Finalmente, utilizando a circunferência trigonométrica, é possível mostrar que valem as relações:

    cos(a+b)=cos a.cos b-sen a.sen b

    sen (a+b)=sen a.cos b+sen b.cos a

    que permitem calcular o seno e o cosseno da soma de dois arcos em termos do seno e cosseno desses arcos separadamente considerados.

     

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