Sejam f(x)= e g(x)=.

Temos Dom f=R e Dom g=R.

Resolver a inequação proposta significa encontrar todos os valores reais de x para os quais f(x)<g(x).

Vamos observar o que ocorre graficamente:

i) O gráfico de f(x)=

Temos:

Como f(x)=0 quando , podemos escrever

Logo, para construir o gráfico de f,

• em primeiro lugar, fazemos o gráfico de y=3x+4

• em segundo lugar, o gráfico de y=f(x)=

ii) O gráfico de

Temos

Como,
=
= 2 =
= 2 =
=

temos 2x²+4x-3=0 quando , ou seja,

2 =5
=
, isto é, x+1= , ou seja x=

Portanto, g(x)=

Para construir o gráfico de g fazemos:

• em primeiro lugar, o gráfico de y=2(x+1)²-5

• em segundo lugar, o gráfico de y=

A fim de resolver a inequação proposta, precisamos comparar os gráficos de f e g e, para tanto, seus gráficos precisam estar no mesmo par de eixos.

Para copiar, o gráfico de f, observamos que, quando x=0, y=4 e quando y=0, . Obtemos assim, as intersecções da reta "original" com os dois eixos e, pelo fato de se tratar de uma reta, essas informações são suficientes. Fazer o rebatimento para obter o gráfico de f é simples utilizando argumentos de simetria.

Para copiar o gráfico de g, precisamos observar, inicialmente, que a parábola "original" tem vértice no ponto (-1,-5) e que suas raízes, isto é, os valores de x para os quais y=0, são: e ; além disso, a curva tem inclinação igual à da parábola y=2x². Essas informações devem ser suficientes para a construção razoável da parábola "original" que será utilizada para construir o gráfico de g. Para tanto, utilizando argumentos de simetria, fazemos o "rebatimento" da parte da curva que se encontra abaixo do eixo horizontal.

Observando os dois gráficos, temos intersecções, que não estão todas visíveis. Para encontrá-las, resolvemos as seguintes equações:

"original" da parábola com "rebatida" da reta:= -(3x+4)

"rebatida" da parábola com "rebatida" da reta: -()=-(3x+4)

"rebatida" da parábola com "original" da reta: -()=3x+4

"original" da parábola com "original" da reta: =3x+4

que se reduzem a duas apenas:

= -(3x+4)

e, portanto

2x²+7x+1=0

logo

e, portanto

2x²+x-7=0

Encontramos assim quatro valores de x para os quais ocorre intersecção das duas curvas. Para ter uma noção razoável da correspondência entre os quatro valores de x que foram encontrados e os pontos onde ocorrem as intersecções entre as duas curvas, precisamos fazer uma estimativa:

é um número que está no intervalo pois ;

é um número que está no intervalo pois ;

é um número que está no intervalo pois ;

é um número que está no intervalo pois .

Com essas estimativas, podemos decidir o conjunto-solução da inequação, obtendo:

que também pode ser escrito em notação de intervalo:

.