Propriedade:

Sendo dado o gráfico de , vamos verificar que vale a seguinte propriedade:

Escolhendo um número natural n e marcando no eixo das abscissas os pontos correspondentes aos termos da progressão geométrica de primeiro termo igual a 1 e razão :

1, , , ..., , ...

teremos que as áreas das regiões abaixo do gráfico de , determinadas em cada um dos intervalos , são iguais.

Consideremos r₁, r₂,..., r_n e R₁, R₂,..., R_n os retângulos inscritos e circunscritos, conforme as figuras:

Então, cada retângulo r_i, para i variando de 1 a n, tem área e cada retângulo R_i , para i variando de 1 a n, tem área .

Assim, chamando de A a área da região , temos que A está compreendida entre a soma das áreas dos retângulos inscritos e a soma das áreas dos retângulos circunscritos, ou seja,

Fazendo , pelo Teorema do Confronto, temos ,

isto é,

Como, pela definição do número e, área( )=1, podemos concluir que

isto é, na notação mais precisa de limite temos que