Mudança de base: para todos a e b estritamente positivos, sendo b diferente de 1, temos: .

Observemos que o desenvolvimento realizado para introduzir os logaritmos nos levou a perceber que existe uma função logarítmica - ln - que é inversível e cuja inversa é a função exponencial - exp - definida para todo número real.

Dessa forma, podemos agora definir uma função exponencial generalizada, da seguinte maneira:

, onde b>0 e diferente de 1.

Assim, na igualdade , tomando ln nos dois membros, temos:

ou seja

, pois a composta é a função identidade.

Então, podemos escrever , que nos leva à definição da função inversa da exponencial geral , colocando;

, que é denotada por

.

Assim, temos:

Seu gráfico é obtido a partir do gráfico de y=ln x, através de uma mudança de inclinação, provocada pelo fator .