a) A tese é mostrar que

Para tanto, precisamos examinar vários casos:

i)

Observando a figura, temos que e .

Portanto, que é a área do retângulo "por fora".

Logo .

Por outro lado, e .

Portanto, que é a área do retângulo "por dentro".

Logo .

Assim, provamos as duas desigualdades na primeira situação.

ii)

Observando a figura, temos que e .

Portanto, que é a área do retângulo "por fora".

Logo .

Por outro lado, e .

Portanto, que é a área do retângulo "por dentro".

Logo .

Assim, provamos as duas desigualdades na segunda situação.

iii)

Observando a figura, temos que e .

Portanto, que é a área do retângulo "por fora".

Logo .

Por outro lado, e .

Portanto, que é a área do retângulo "por dentro".

Logo .

Assim, provamos as duas desigualdades na terceira situação.

iv)

Observando a figura, temos que e .

Portanto, que é a área do retângulo "por fora".

Logo .

Por outro lado, e .

Portanto, que é a área do retângulo "por dentro".

Logo .

Assim, provamos as duas desigualdades na quarta situação.

Dessa forma, temos que, se , então
.

b) Precisamos provar que, se , então .

Observamos, em primeiro lugar, pelo item a), que lnx-lna>0 e .

Assim, vamos dividir ambos os membros da desigualdade por lnx-lna:

(A)

Também, pelo item a) sabemos que , logo, podemos tomar os inversos e temos:

(B)

De (A) e (B), podemos escrever , como queríamos demonstrar.

c) Finalmente, precisamos concluir que .

Observemos que, de b), temos: .

Mas,

Logo, , ou seja,

como queríamos demonstrar.