a) Sabemos que ln 1 = 0. Logo, para todo a>0, podemos escrever:

, pela propriedade do logaritmo do produto.

Assim, .

b) Como , para todos a>0 e b>0, temos:

pela propriedade do logaritmo do produto e a propriedade demonstrada no item a).

c) Temos aⁿ=a.a.a....a, então pelo Princípio da Indução Finita, podemos mostrar rigorosamente que, para todo a>0,

.

d) Como , para todo q>0, podemos escrever:

pela propriedade anterior.

Logo .

e) Para todos p e q naturais, com q não nulo, e para todo a>0,

onde aplicamos a propriedade do item c) e depois a propriedade do item d).

f) Como r é um número racional, podemos ter:

• r>0: nesse caso, , é o mesmo que foi provado no item e).
• r<0: nesse caso, observamos que -r>0.Temos então, para todo a>0
  , onde aplicamos o item anterior e, em seguida, o item a).

g) Para mostrar que ln é estritamente crescente, sendo a>0 e b>0, com a>b, precisamos considerar três casos:

i) a>b>1

a > b > 1 : ln a > ln b > 0, pois área e

ii) a>1 e 0<b<1

a > 1 e 0 < b < 1 : ln a > ln b, pois ln a = área > 0 e ln b = -área < 0

iii) 0<b<a<1:

0 < b < a < 1 : ln a > ln b, pois ln a = -área < 0 e ln b = -área < 0. Da figura, área < área logo, -área > -área