Seja um número irracional e a um número racional não nulo. Precisamos mostrar que é um número irracional.

De fato, suponhamos, por absurdo, que é racional. Então,

, com m e n inteiros e .

Mas, nesse caso, temos , ou seja é a diferença de dois racionais, logo é racional, o que é uma contradição.

Logo não é racional e, portanto é irracional.