Seja a um número irracional e a um número racional não nulo. Precisamos mostrar que a+a é um número irracional.

De fato, suponhamos, por absurdo, que a+a é racional. Então,

, com m e n inteiros e .

Mas, nesse caso, temos , ou seja a é a diferença de dois racionais, logo é racional, o que é uma contradição.

Logo a+a não é racional e, portanto é irracional.