Seja a um número irracional e a um número racional não nulo. Precisamos mostrar que a.a é um número irracional.

De fato, suponhamos, por absurdo, que é a.a racional. Então,

, com m e n inteiros e .

Mas, nesse caso, temos , ou seja a é racional, o que é uma contradição. Logo a.a não é racional e, portanto é irracional.