Conceito de logaritmo

Na maioria dos livros didáticos voltados para o Ensino Médio, encontramos como definição para o que seja o logaritmo de um número positivo x numa base a, positiva e diferente de 1, a seguinte expressão:

ou seja, o logaritmo de x na base a é o expoente ao qual devemos elevar o número a para obter x.

Evidentemente isso é verdade, entretanto nos causa uma dificuldade: sabemos o que significa calcular 2³, 2^-3, e mesmo , porém qual o significado que poderíamos atribuir a ou ?

Dessa forma, precisamos de uma definição rigorosa para o que é um número positivo elevado a um expoente real qualquer, a fim de introduzir o conceito de logaritmo como acima.

É possível introduzir os logaritmos de outra maneira e, a partir daí, perceber que existe uma função logarítmica que é inversível e cuja inversa é a função exponencial definida para todo número real. Dessa maneira teremos resolvido o problema dos expoentes irracionais.

Em muitos livros de Cálculo Diferencial e Integral, encontramos a seguinte definição:

O logaritmo natural de um número x > 0 é a área da figura plana delimitada pelas retas t=1, t=x, o eixo Ot e a hipérbole y= , quando . No caso de x=1, essa área é zero, ou seja, o logaritmo natural de 1 é zero; quando 0 < x < 1, o logaritmo natural de x é o negativo da área da região delimitada pelas retas t=x, t=1, o eixo Ot e a hipérbole y= .

ln x é área da região hachurada

ln x é o negativo da área da região hachurada

Essa definição é geométrica e envolve o conceito de área de uma figura plana, formada por três segmentos de reta e um arco de curva. Esse problema pode ser precisamente resolvido através do conceito de integral definida, e a correspondente notação.

Em nosso caso, a figura plana considerada é formada por três segmentos de reta e o arco de uma curva especial, o ramo positivo da hipérbole y=, quando t varia de 1 a x ou de x a 1, conforme o caso considerado. Iremos denominar esse tipo de figura plana de região ou , conforme x seja, respectivamente, maior ou menor do que 1.