Prostaférese

As identidades trigonométricas abaixo eram utilizadas para transformar produtos em somas ou diferenças, utilizando as tabelas de funções trigonométricas.

2sen A cos B=sen(A+B)+sen(A-B)
2cos A sen B=sen(A+B)-sen(A-B)
2cos A cos B=cos(A+B)+cos(A-B)
2sen A sen B=cos(A-B)-cos(A+B)

A demonstração delas utiliza o seno ou cosseno da soma ou diferença de dois arcos a e b.

Por exemplo, a partir de

sen(A+B)=sen A cos B+cos A sen B
sen(A-B)=sen A cos B-cos A sen B

Somando as duas igualdades membro a membro, obtemos:
sen(A+B)+sen(A-B)=2 sen A cos B

Subtraindo as duas igualdades membro a membro, obtemos:
sen(A+B)-sen(A-B)=2 cos A sen B

Analogamente, a partir de

cos(A-B)=cos A cos B+sen A sen B
cos(A+B)=cos A cos B-sen A sen B

Somando as duas igualdades membro a membro, obtemos:
cos(A+B)+cos(A-B)=2cos A cos B

Subtraindo as duas igualdades membro a membro, obtemos:
cos(A-B)-cos(A+B)=2sen A sen B