A fim de mostrar que as duas retas são assíntotas à hipérbole, verifiquemos o seguinte:

- para x>0 e muito grande, a distância entre o gráfico de e de tende a zero.

De fato, para um mesmo valor de abscissa, temos que a diferença das ordenadas é:

colocando o fator em evidência e usando o fato que porque x>0,



onde multiplicamos o numerador e o denominador por , a fim de calcular o limite quando x se torna muito grande, isto é, tende a infinito, escapando da situação de indeterminação.

Assim, quando x tende a infinito, temos que D tende a zero, ou, em notação de limite,

Da mesma forma, quando .

- Para x<0, x muito grande em valor absoluto, pode-se mostrar analogamente que a distância entre e entre também tende a zero quando .

Dessa maneira, mostramos que as retas são assíntotas à hipérbole .