Definição - Hipérbole Sejam dados dois números reais estritamente positivos a e c tais que c>a. Consideremos dois pontos F1 e F2 tais que d(F1,F2)=2c e seja um plano passando por F1 e F2, com um sistema de eixos cartesianos Oxy, tal que F1 e F2 estejam no eixo x e a origem do sistema seja o ponto médio do segmento . Dessa forma, F1=(c,0) e F2=(-c,0). Vamos examinar o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) do plano tais que: < 2c Nas condições dadas, é possível deduzir a equação mais simples que descreve o lugar geométrico, obtendo: onde b2=c2-a2. Assim, podemos escrever a definição do lugar geométrico determinado pela equação que foi deduzida. Definição: Nas condições descritas acima, o lugar geométrico dos pontos P tais que é uma curva denominada hipérbole de focos F1 e F2, com distância focal 2c e distância entre os vértices 2a. O gráfico da equação Observe
que neste caso x não pode ser zero.
é o seguinte: As retas r: e s: são chamadas assíntotas à hipérbole. Observações:
3. Uma hipérbole particular é o gráfico de . Seus focos são os pontos e , ou seja, qualquer ponto que pertence à curva, satisfaz à definição . Uma vez que a variável independente x não pode ser zero, observamos que a curva não intercepta o eixo vertical. Entretanto, conforme x assume valores
positivos, próximos de zero, a variável dependente y assume valores
muito grandes, positivos. Escrevemos isso sucintamente, Por outro lado, conforme x assume valores negativos, próximos de zero, a variável dependente y assume valores muito grandes negativos, o que pode ser escrito:
Outro fato visível no gráfico é que quando x cresce, sendo muito grande e positivo, o valor de y é muito pequeno, ainda positivo, isto é, Finalmente, quando x é muito grande, mas negativo, o valor de y é muito pequeno, negativo, ou seja O eixo vertical - que é a reta de equação x=0 - e o eixo horizontal - que é a reta de equação y=0 - são denominadas assíntotas ao gráfico da função. São retas das quais o gráfico se aproxima indefinidamente, sem nunca encostar. |
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