Sendo g(x)=2x+1 e f(x) =(2x+1)², como podemos obter f(x) a partir de g(x)?

Consideremos a função . Como escrevê-la utilizando composição de duas outras funções?

É verdade que h(g(x)) é igual a g(h(x))? Ou seja, vale a propriedade comutativa para a composição de funções?

A resposta a essa questão é negativa e provoca um novo questionamento:

Sempre podemos realizar a composição entre duas funções dadas?

Novamente, a resposta é negativa.

A pergunta seguinte é, então, bastante natural:

Dadas duas funções, quando é possível realizar uma composição dessas funções?

Verificamos que para efetuar as quatro operações básicas com duas funções f e g, em geral, precisamos considerar a intersecção dos domínios de f e g, com uma restrição ainda maior para o caso do quociente .

Entretanto, a composição de funções é uma operação bem diferente!

Vamos utilizar um diagrama que esclarece melhor a situação:

Do diagrama, temos:

, ou seja Dom g=A e, portanto, . Temos também: h:

Assim, é importante observar que a composição de h com g só será possível se

pois se o conjunto Im g não estiver contido em B=Dom h, a função h não poderá agir em todos os elementos da forma g(x), com x A, não sendo possível realizar a composição das duas funções.

Assim, de modo geral, só será possível se , pois, nesse caso, todo valor proveniente da ação de g poderá ser submetido à ação de h.