Para mostrar que 1+2+...+n= , para todo número natural , basta observar que sendo

podemos novamente escrever a mesma expressão, ordenando as parcelas ao contrário, obtendo:

Somando ambos os membros das duas igualdades, obtemos:

pois somamos as duas primeiras parcelas, as duas segundas parcelas, as duas terceiras e, assim por diante, até as duas últimas que são as enésimas.

Logo,

O raciocínio desenvolvido acima pode ser utilizado numa Progressão Aritmética qualquer, de n termos, cujo primeiro termo é a₁ e cujo enésimo termo é a_n, para obtermos:

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