1+3+5+...+(2n-1) = n²

Seja P(n) a afirmação a ser provada por indução: 1+3+5+...+(2n-1) = n².

Vamos escrever P(1): 1=1². Portanto, P(1) vale.

Suponhamos que P(k) vale, ou seja: 1+3+5+...+[2k-1] = k² .

Vamos mostrar que, valendo P(k), vale P(k+1), ou seja:1+3+5+...+(2k+1) = (k+1)² .

Sabemos que: 1+3+5+...+2k-1 = k² .

Temos então:

1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = k²+(2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)² .

Portanto P(k+1) vale.

Logo, P(n) vale para todo n 1.