Utilizando
o P.I.F., demonstre as seguintes propriedades:
a) 1+2+...+n= 
b) 1+q+q2+...+qn= 
c) Para todo a>0, ln an=n.ln a
d) O binômio de Newton:
, onde
é denominado número
binomial.
e) 
f) , para todo
r >0
g) 1+3+5+...+(2n-1)=n2
Calcule as seguintes somas - isto é, encontre em cada caso, uma
"fórmula":
a) 2+4+6+...+2n
b) 3+8+13+...+(5n-2)

a) Encontre uma "fórmula"
que forneça a soma dos quadrados dos n primeiros números
naturais.
Sugestão: Observe que para cada k natural, tem-se
(k+1)3-k3=3k2+3k+1.
Some então, membro a membro, as igualdades acima, fazendo k variar
de 1 a n.
b) Encontre uma "fórmula"
que forneça a soma dos cubos dos n primeiros números naturais.
Outra solução: há uma bela solução
geométrica em Simmons,
volume 1, pág. 766.
George
F. Simmons, professor no Colorado College, é autor do livro CALCULO
COM GEOMETRIA ANALÍTICA.,Volume 1, Editora Makron Books do Brasil,
1997.
Seja
P(n) a seguinte afirmação: 
a) Mostre que, se
P(k) vale, então P(k+1) também vale.
b) Podemos concluir que P(n) é válida para todo n?
Observe que a desigualdade 2n>3n não é válida
para n=1. Na realidade, o primeiro natural para o qual 2n>3n
é n=4. Enuncie um P.I.F. que possa ser utilizado para demonstrar
que 2n>3n para todo .
Descubra a lei sugerida pelos fatos apresentados e prove-a por indução:

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