A fim de provar o Teorema 1, isto é, a Primeira Regra de L'Hospital, vamos primeiramente examinar uma outra Propriedade cujo resultado será usado na demonstração da referida Regra. Essa propriedade é devida a Cauchy.

Precisamente, temos:

Teorema de Cauchy: Sejam f e g duas funções contínuas em [a,b], deriváveis em ]a,b[, tais que para todo . Existe então tal que

Prova:

Seja , e observemos que pois se assim não fosse, pelo Teorema do Valor Médio aplicado à função g, teríamos que existe tal que , o que é impossível pela hipótese: para todo .

Consideremos agora uma função F, tal que:

.

Temos, substituindo x por a, e, substituindo x por b, F(b)=0.

Também, a função F satisfaz as hipóteses do TVM e, portanto, existe tal que .

Por outro lado, achando F' através da expressão de F, temos:

ou seja, .

Como , obtemos , como queríamos provar.

Vejamos agora:

Teorema 1: Primeira Regra de L'Hospital

Sejam f e g duas funções contínuas em um intervalo I, deriváveis no interior de I, tais que para todo x no interior de I. Seja e suponhamos que e que existe , finito ou infinito. Então existe e, mais ainda, .

Prova:

Seja um ponto arbitrário do intervalo I.

Aplicando o Teorema de Cauchy, temos: para algum .

Como , por hipótese, temos:

(1)

Agora,

e, de (1)

Logo,

como queríamos provar.

Observações:

1. O Teorema 1 ainda é verdadeiro no caso em que f e g são deriváveis em e em onde r>0, não estando definidas no ponto a, mas com .

De fato, basta considerar as funções:

e

que são contínuas em x=a e observar que:

, com .

2. Se e as funções f' e g' verificam as hipóteses do Teorema, podemos aplicar novamente a Regra de L'Hospital, obtendo:

e esse raciocínio pode ser repetido.

3. A Regra de L'Hospital continua válida no caso em que no lugar de a tivermos , isto é .

De fato, basta fazer ; se então . Então:

.