Em primeiro lugar, observemos que, para ,

pois a função logarítmica e a função exponencial são inversas.

Assim,

.

A fim de calcular esse limite, vamos antes calcular .

Temos então:

,

onde observamos que ambas as funções no numerador e no denominador satisfazem as hipóteses do Teorema 2. Assim, calculando o limite do quociente das derivadas, temos:

.

Logo, pela Regra de L'Hospital,

.

Voltando ao limite inicial e observando que a função exponencial é uma função contínua, temos que:

.