Suponhamos que duas funções f e g tenham limites em um ponto a. Então temos:

a) a função f + g tem limite em a e ;

b) a função f . g tem limite em a e ;

c) se , então a função tem limite em a e .

Demonstração:

• a) Sabendo que, por hipótese, f e g têm limite em um ponto a, isto é,

e ,

queremos mostrar que

,

ou seja:

para todo e >0, existe d >0 tal que

se então

Observemos que, pela desigualdade triangular,

Como e ,

os números e podem tornar-se arbitrariamente pequenos quando escolhemos x suficientemente próximo de a. Em particular, eles podem tornar-se menores do que .

Assim, se então (1)
e se então (2)

Tomando , ou seja, d é o menor dentre os valores d₁ e d₂, então sempre que , valem (1) e (2).

Logo,

se então
o que demonstra a parte a).

• b) Para demonstrar a propriedade relativa ao produto de funções, vamos primeiramente considerar um caso particular:

Se k é uma função tal que , enquanto que , então .

Como, por hipótese, , segue que dado e > 0, digamos e=1, existe d₁>0 tal que

se , então

Mas então

e, portanto,

se , então (3)

Assim, como , dado e >0 existe d₂ >0 tal que

se , então (4)

É preciso observar que, como o erro permitido e > 0 é qualquer, podemos tomar um erro menor .

Agora, se , então sempre que , valem (3) e (4), logo

,

ou seja,

se , temos

como queríamos mostrar.

Finalmente, para o produto de duas funções f . g, sendo e ,

observamos que:

Como , segue que e, portanto, pela demonstração do caso particular, temos que .

Da mesma forma, como segue que e, portanto, pela mesma razão temos .

Logo, pela parte a), ou seja,

Como queríamos provar.

• c) Para demonstrar a propriedade relativa ao quociente de funções, em primeiro lugar, observamos que:
  , isto é, basta provar que, sendo , então e depois utilizar o resultado obtido em b).

Para provar que , consideremos o módulo seguinte:

(5)

Como ,

dado existe d₁>0 tal que

se , então

Assim para x tal que , temos

e daí:

e, portanto, ou seja,

Dessa maneira, substituindo na igualdade (5), para x tal que , temos que:

(6)

Novamente, como , dado , existe tal que

se , então (7)

Tomando , ambas as desigualdades (6) e (7) são verdadeiras. Assim,

se , então , o que significa que , como queríamos provar.