a) a função f + g tem limite em a e ; b) a função f . g tem limite em a e ; c) se , então a função tem limite em a e . Demonstração:
e , queremos mostrar que , ou seja: para todo e >0, existe d >0 tal que se então Observemos que, pela desigualdade triangular,
Como e , os números e podem tornar-se arbitrariamente pequenos quando escolhemos x suficientemente próximo de a. Em particular, eles podem tornar-se menores do que . Assim, se
então (1) Tomando , ou seja, d é o menor dentre os valores d1 e d2, então sempre que , valem (1) e (2). Logo, se
então
Se k é uma função tal que , enquanto que , então . Como, por hipótese, , segue que dado e > 0, digamos e=1, existe d1>0 tal que se , então Mas então
se , então (3)
se , então (4) É preciso observar que, como o erro permitido e > 0 é qualquer, podemos tomar um erro menor . Agora, se , então sempre que , valem (3) e (4), logo , ou seja, se , temos como queríamos mostrar.
observamos que:
Como , segue que e, portanto, pela demonstração do caso particular, temos que . Da mesma forma, como segue que e, portanto, pela mesma razão temos . Logo, pela parte a), ou seja, Como queríamos provar.
Para provar que , consideremos o módulo seguinte: (5)
Como , dado existe d1>0 tal que se , então Assim para x tal que , temos
e daí:
Dessa maneira, substituindo na igualdade (5), para x tal que , temos que: (6) Novamente, como , dado , existe tal que se , então (7) Tomando , ambas as desigualdades (6) e (7) são verdadeiras. Assim, se ,
então ,
o que significa que ,
como queríamos provar.
|
|
||||