, ou, escrevendo na variável x, .

• Em primeiro lugar, vamos mostrar que .

Dado um número real qualquer x>0, podemos considerar dois naturais positivos e consecutivos, n e n+1, tais que:

e, tomando os inversos, temos:

ou somando 1 a todos os termos das desigualdades

Como ou seja, ,

uma vez que as bases estão em ordem decrescente, bem como os expoentes.

Daí podemos escrever:

ou seja:

Como

pois e

e como

pois e

pelo Teorema do Confronto, temos que , como queríamos mostrar.

• Em segundo lugar, vamos mostrar que .

Este limite envolve um artifício!

Vamos fazer uma substituição de variável: , com t>0.

Temos então:

Quando , temos que

Logo,

pois e

• Em terceiro lugar, vamos mostrar que .

Para tanto, vamos calcular os dois limites laterais e verificar que são ambos iguais a e.

a)

Vamos fazer a mudança de variável: .

Assim, quando , temos que .

Logo,

b)

Vamos novamente fazer a mudança de variável: .

Assim, quando , temos que .

Logo,

Em conclusão, de a) e b), temos que , como queríamos mostrar.