, ou, escrevendo na variável x, .
Dado um número real qualquer x>0, podemos considerar dois naturais positivos e consecutivos, n e n+1, tais que:
e, tomando os inversos, temos: ou somando 1 a todos os termos das desigualdades
Como ou seja, , uma vez que as bases estão em ordem decrescente, bem como os expoentes. Daí podemos escrever:
ou seja:
Como
pois e
pois e pelo Teorema do Confronto, temos que , como queríamos mostrar.
Este limite envolve um artifício! Vamos fazer uma substituição de variável: , com t>0. Temos então: Quando , temos que Logo,
pois e
Para tanto, vamos calcular os dois limites laterais e verificar que são ambos iguais a e. a) Vamos fazer a mudança de variável: . Assim, quando , temos que . Logo,
Vamos novamente fazer a mudança de variável: . Assim, quando , temos que . Logo,
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