, onde e, por convenção, 0!=1. Seja P(n) a afirmação a ser provada por indução: Então para estabelecer P(1), observamos que, por um lado, . Por outro lado, . Portanto, P(1) vale. Suponhamos que a propriedade vale para , ou seja,
Vamos provar que vale para , ou seja, . Para tanto, no desenrolar
da demonstração, vamos utilizar uma igualdade interessante,
relacionando números
binomiais, que é chamada relação
de Stifel. Pelo P.I.F. a propriedade vale para todo natural maior ou igual a 1, ou seja, Observemos que essa
propriedade vale também para n=0, pois
e
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