A função representa as oscilações de uma mola com uma massa m presa em uma de suas extremidades, sendo k a constante elástica da mola.

a) Encontre o instante no qual a massa está mais distante do seu ponto de equilíbrio. Encontre o instante no qual a massa está se movimentando com velocidade máxima. Encontre o instante no qual a massa está se movimentando com aceleração máxima.
b) Qual é o período T da oscilação?
c) Encontre . O que nos diz o sinal de ?

Seja a função . Investigue algumas das propriedades de f, através das questões:

a) Qual o domínio de f?
b) f é periódica?
c) f assume valores negativos?
d) f tem raízes?
e) f tem algum valor máximo? E mínimo?
f) f é o resultado da composição de uma função exponencial com uma função trigonométrica. A função f cresce infinitamente como uma função exponencial?
g) Qual a imagem de f?

Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta. Isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de 50 mm³/s, determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.

Seja a função h(x)=f(g(x)), sendo g(x)=cos x. Sabendo que f'(-1)=3, determine o valor de .

Dadas as funções e definidas para :

a) Resolva as equações: f'(x)=1 e g'(x)=1.
b) Dê uma interpretação gráfica dos resultados da parte a), em termos das inclinações dos gráficos das funções f e g.

Resolva a equação diferencial .

Obtenha o aumento do volume de uma esfera quando seu raio varia de 3cm a 3,1cm.

Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que seus lados medem 1500m, com um erro máximo de 50m. Usando taxa de variação, determine o possível erro no cálculo da área do terreno.

Um tanque de óleo deve ser drenado para limpeza. Sobram V galões de óleo no tanque t minutos após o início da drenagem, onde , calcule:

a) a taxa média em que é drenado o óleo para fora do tanque durante os primeiros 30 minutos.
b) a taxa em que o óleo está fluindo para fora do tanque 30 minutos após o início da drenagem.

Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar, bem como a derivada de uma função ímpar é uma função par.

Nos carros de corrida, utiliza-se um pneu de ultra-aderência cuja consistência é mais macia do que a de um pneu normal e cuja superfície de contato é plana - pneu slick. Um fabricante desse tipo de pneus garante que a quantidade de borracha gasta em média, quando um carro está rodando a 200km/h, é de 1,5cm²/s. Sabendo que esse pneu, quando novo, tem diâmetro de 45cm e largura de 30cm, encontre:

a) a taxa de variação do diâmetro do pneu para um carro rodando nessas condições.
b) a taxa de variação do diâmetro quando o pneu, já usado, estiver com diâmetro de 42,7cm.

Mostre que a função satisfaz a equação diferencial .