O
significado de L= 
Num jogo de lançamento de dardos, você tem um tabuleiro constituído de uma série de circunferências concêntricas:
Para obter pontuação máxima, é preciso acertar
no centro. Entretanto, se você permitir certa margem de erro, poderá
ao lançar o dardo, atingir algum ponto do tabuleiro, mesmo fora
do centro, e obter alguma pontuação.
Suponhamos então que o resultado do lançamento dependa do
ângulo entre a horizontal - que liga o ponto de lançamento
ao centro do tabuleiro - e uma reta imaginária que liga o ponto
de lançamento ao ponto atingido. Sabendo qual sua margem de erro
(e) para obter alguma pontuação,
você tem uma variação delimitada (d)
para o referido ângulo.
Vamos precisar estabelecer uma certa formalização a fim
de tratar das questões de limites com algum rigor. Com efeito,
os conceitos de derivada e de integral são construídos como
um determinado limite e, para desenvolver completamente esses conceitos
fundamentais no Cálculo, precisamos da definição
rigorosa de limite.
Observamos que, ao
dizer que 
, estamos
lidando com aproximações pois estamos dizendo que, conforme
x se aproxima de a, o valor de g(x) se aproxima de L.
Por exemplo, ao dizer
que 
, estamos dizendo
que conforme x se aproxima de 2, o valor x2
se aproxima de 4.
A questão é: como se relacionam essas aproximações?
Como no exemplo do lançamento do dardo, precisamos ter controle sobre o erro que pode ser cometido pelo valor da variável independente x quando pretendemos que o resultado g(x) esteja próximo de L.
Isso significa que a situação pode ser descrita da seguinte maneira: sabendo de quanto nos permitimos errar no resultado da variável dependente, perto do limite L=4, queremos saber de quanto podemos errar na variável independente x, a fim de cairmos na margem de erro permitida inicialmente.
Ou seja: dizemos que
=L, quando,
estabelecido o erro permitido na variável dependente, conseguimos
encontrar qual o erro que podemos cometer na variável independente,
a fim de que com esse erro, o valor de y=g(x) fique dentro da margem de
erro pré-estabelecida.
Vamos construir uma
tabela para deixar clara a idéia envolvida, no caso de :
|
Erro
permitido no cálculo do limite: e
|
intervalo
onde g(x) pode estar
|
Intervalo
onde x tem que estar (x
2) |
Erro
permitido na variável x: d
|
| 0,1 |
3,9<
g(x)< 4,1
|
1,97<x<2,02 |
0,02 |
| 0,01 |
3,99< g(x)< 4,01 |
1,997<x<2,002
|
0,002 |
| 0,001 |
3,999<g(x)<
4,001
|
1,9997<x<2,0002
|
0,0002 |
| 0,0001 |
3,9999<g(x)<
4,0001
|
1,99997<x<2,00002
|
0,00002 |
É claro
que poderíamos continuar a tabela indefinidamente...
Entretanto, o que deve estar claro é que, para
cada valor de x no intervalo encontrado, o valor da função
g(x) nesse ponto estará dentro da limitação escolhida,
ou permitida, inicialmente. Também é preciso observar
que, como o intervalo encontrado não é simétrico
em relação a 2, escolhemos o maior intervalo simétrico
aí contido.
Assim, ao cometermos um erro na variável x, menor do que o tamanho encontrado, estaremos, certamente, cometendo um erro, quando calcularmos o valor da função nesse ponto escolhido, menor do que o permitido , em relação ao valor do limite.
De modo geral, dizer que
=L é equivalente a dizer que: para todo erro de tamanho e
>0, existe um erro de tamanho d >0, tal
que, se o valor da variável independente x - diferente de a
- está próximo de a, a menos de d,
o valor da variável dependente y=g(x) estará próximo
de L, a menos de e .
Equivalentemente, podemos escrever em linguagem simbólica:
 |
 |