Consideremos y=f(x)=x2. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1) é 2.
A taxa de variação média de uma função num intervalo [x0,x0+Dx] contido em seu domínio, é o quociente . Geometricamente, o significado desse quociente, como podemos ver na figura, é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (x0,f(x0)) e (x0+Dx, f(x0+Dx)). Uma vez que esses dois pontos pertencem ao gráfico da função, dizemos que essa reta é secante ao gráfico. Observemos que o coeficiente angular da reta é a tangente trigonométrica do ângulo - medido no sentido anti-horário - que a reta forma com o eixo horizontal.
Quando fazemos Dx®0, a reta secante genérica tende à posição limite de reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) e o quociente tende ao coeficiente angular da reta em sua posição limite. Dessa maneira, dizemos que, se existe e é finito o limite,
ele é o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto de abscissa
x0, isto é, (x0,
f(x0)) é o ponto de tangência.
Finalmente, como a equação da reta que passa por um ponto (x0,y0) e tem coeficiente angular m é dada por
podemos, através da taxa de variação instantânea da função num ponto de seu domínio, obter a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)), que é, portanto:
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